論理・集合と位相空間入門/栗山憲

栗山憲
共立出版
ISBN：4320110226/9784320110229
発売日:2012年04月

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【内容紹介】
本書は、解析学・幾何学・代数学など現代の数学のすべての分野の基礎となる論理・集合と位相空間の入門書である.高校数学で数I・数Aしか学んでいない読者でも独習できるように、丁寧かつ他の本を参考にしなくても読みとおせるように工夫した。
前半では、論理・集合について解説する。まず命題論理では真偽表を用いて論理語を定義し、命題(論理式)の真偽がどのようになるか説明している。初心者が戸惑いがちな論理語の意味についても、わかりやすく説明している。現代数学をマスターする上で不可欠な述語論理については、具体的な例もあげて説明している。次に集合と写像では、有限集合の間の写像も例としてあげ、読者が実際に簡単な「計算」で全単射などの概念が理解できるようにした。最後に濃度を取り扱い、濃度が等しいこと、大小関係などを理解できるよう工夫した。
後半は位相空間の入門である。まず、実数の性質からはじめて、実数全体のもつ距離空間としての性質を説明している。小中高で学んだ実数の代数的・大小関係的な性質を公理的に説明することからはじめて、実数の連続性、閉包などを述べる。次の距離空間では、最初に、距離空間の重要な例としてユークリッド空間を説明しているが、そこでは有限次元のヒルベルト空間ということを意識して、内積を導入してそこから距離を入れた。近傍、触点、内点、閉包、内部など位相的な概念を記載している。一般の位相空間では、近傍の公理と開集合の公理の同値性などを説明し、位相空間を直観的に理解できるよう構成した。最後に、コンパクト空間を取り扱う。