有向パーコレーションの数理 相転移と臨界現象の厳密証明/坂井哲

坂井哲
共立出版
ISBN：4320116119/9784320116115
発売日:2026年09月

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【内容紹介】
DP普遍性クラスの代表モデルに特化し、数学的に厳密な解析を網羅した本格的専門書。

相転移・臨界現象は、統計力学および確率論における最重要テーマの一つである。本書は、感染症や森林火災などの伝搬や流体の層流・乱流相転移など、幅広い現象を記述する「DP(有向パーコレーション)普遍性クラス」の代表モデルに特化し、数学的に厳密な解析を網羅した本格的専門書である。

最大の特長は、2025年現在で最新の研究成果と証明手法を和書として初めて体系的に解説している点にある。フィールズ賞受賞者のDuminil－CopinとTassionによる臨界点の一意性の革新的な別証明をはじめ、秩序変数(パーコレーション確率、感受率)の連続性証明、複雑な相互作用を解きほぐすレース展開の厳密な解析、高次元1－arm指数の退化、1次元空間におけるハイパースケーリングの導出まで、現代確率論の最前線へと読者を導く。

構成としては、平均場モデルである「分枝過程・分枝ランダムウォーク」の完全解析を出発点に、三種の神器(Russoの公式、Harrisの不等式、BK不等式)を駆使して相転移(臨界点の一意性と秩序変数の連続性)を厳密に証明する。後半ではレース展開の威力とハイパースケーリングの深淵に迫る。

確率幾何的な直観を助ける図版も多数収録。意欲的な学部生から大学院生、第一線の研究者まで、未解決の難問が山積する臨界現象の真髄に触れるための必携の一冊である。